群作用

这周因为疫情原因没有去宁波, 目前浙江内乘坐公共交通或者出入公共场所都需要出示48小时的核酸检测阴性证明, 要是一不小心过了这个证明的有效时间, 就着实有点麻烦=.= 本文主要用于记录群作用的相关知识点, 书上介绍的自由群作用与纯不连续群作用的概念由于缺乏足够的例子, 理解起来还是比较吃力, 因此自己也参考了庄晓波老师的视频与相关Wiki.

参考材料
1. P30 (29)群作用
2. 群作用

1. 群作用的相关定义

首先介绍一下拓扑群的概念: 若群$G$上定义了一个拓扑, 使得定义在群$G$上的乘积映射$$G \times G \to G, \\ (g, h) \mapsto gh,$$与逆映射$$G \to G, \\ g \mapsto g^{-1},$$均连续, 则称群$G$为一个拓扑群. 而据自己了解, 群作用的定义有2个版本, 如下所示.

定义1 设$X$是一个拓扑空间, 用$Aut \ X$表示$X$的所有自同胚构成的群, 群的乘法为映射的复合. 如果$G$是一个群, $q: G \to Aut \ X$是一个同态, 则称$q$为群$G$在$X$上的一个群作用, 记为$q: G \searrow X$, 称每个$q(g)$为$g$在$X$上的作用.

定义2 拓扑群$G$在拓扑空间$X$上的左连续作用是一个连续映射$$\lambda: G \times X \to X$$且$\lambda$满足
a) $\lambda(1_G, x) = x$, $\forall x \in X$.
b) $\lambda(gh, x) = \lambda(g, \lambda(h, x))$, $\forall x \in X$, $g, h \in G$.

其中, 不知道是否为原书作者的疏漏, 在自己查阅的几篇文献中, 群作用讨论的对象群$G$都为一个拓扑群, 而定义1中的群$G$并未施加这个约束. 下文讨论的群$G$均为一个拓扑群. 定义1与定义2实际上是息息相连的(不一定是等价的), 因为从定义2中的映射$\lambda$总可以诱导出映射$q: G \to Aut \ X$, 且$$q(g)(x) = \lambda(g, x),$$这是一个群同态. 反过来, 若群$G$是离散的, 则任意一个同态$q: G \to Aut \ X$定义了在拓扑空间$X$上的群$G$的左连续作用.
$\\$ 我们通常把$q(g)(x)$简记为$gx$或$g \cdot x$. 类似地, 对于拓扑空间$X$的一个子空间$A$, $GA$或$G \cdot A$表示子空间$A$在$G$-作用下的轨道: $GA = $$ \bigcup_{g \in G}gA$.
拓扑空间$X$在$G$-作用下的商空间$X / G$(也经常被记为$G / X$) 是由拓扑空间$X$中的所有点的$G$-轨道构成的集合, 称其为轨道空间, 其拓扑为商拓扑. 轨道空间$X / $$ G$中的元素为拓扑空间$X$中的等价类, 其中$x $$ \sim y$等价当且仅当$Gx = Gy$, 即$y $$ \in Gx$.
$\\$ 点$x \in X$在$G$-作用下的不动点是群$G$的一个子群$G_x = \{ g \in G: $$ gx = x \}$. 若对于任意$x \in X$, $G_x = \{ e \}$, 则称群$G$在拓扑空间$X$上的作用是自由的. 更进一步地, 若$X$为一个Hausdorff空间, 则对于任意$x \in X$, $G_x$在$G$中是闭集.

2. 左连续作用与右连续作用

上一小节的定义2中提到了左连续作用, 类似地, 我们可以得到右连续作用的定义: 拓扑群$G$在拓扑空间$X$上的右连续作用是一个连续映射$$\lambda: X \times G \to X$$且$\lambda$满足
$\\$ a) $\lambda(x, 1_G) = x$, $\forall x \in X$.
$\\$ b) $\lambda(x, gh) = \lambda(\lambda(x, g), h)$, $\forall x \in X$, $g, h \in G$.
$\\$ 注意左和右作用的区别仅在于像$gh$这样的积在$x$上作用的次序. 对于左作用, $h$先作用然后是$g$; 而对于右作用, 先作用$g$然后是$h$. 从一个右作用可以构造一个左作用, 只要和群上的逆操作复合就可以了. 如果$r$为一右作用, 则$$l: G \times X \to X, \\ (g, x) \mapsto r(x, g^{-1}),$$是一左作用, 因为$$l(gh, x) = r(x, (gh)^{-1}) = r(x, h^{-1}g^{-1}) = \\ r(r(x, h^{-1}), g^{-1}) = r(l(h, x), g^{-1}) = l(g, l(h, x)),$$而$$l(e, x) = r(x, e^{-1}) = r(x, e) = x.$$所以接下来, 我们只考虑左群作用, 因为右作用可以相应推理.

3. 群作用的相关例子

例1 设$Z \searrow R$, $n(x) := n + x$, $\forall n \in Z$, $x \in R$, 则$R / Z \cong S^1$.
$\\$ 证1 取$R$上的区间$[0, 1]$, 则$R / Z$中的所有点(轨道)与区间$[0, 1]$至少有一个交点, 至多有两个交点, 且只有一条轨道与区间$[0, 1]$交于两点, 这两点分别为区间$[0, $$ 1]$的两个端点. 用映射的语言来描述这个事实, 记$$\pi: R \to R / Z, \\ \pi|_{[0, 1]}: [0, 1] \to R / Z,$$则$\pi|_{[0, 1]}$是一个满射. 如此一来, 从直观上来看, 在区间$[0, 1]$内部, 每个点均表示不同的轨道, 而在区间$[0, 1]$的两个端点处, 则表示同一条轨道.
$\\$ 又区间$[0, 1]$是$R$上的一个紧集, 轨道空间$R / Z$是一个Hausdorff空间, 则$\pi|_{[0, 1]}$是一个粘合映射, 同时也是一个商映射, 从而$$R / Z \cong [0, 1] / \overset{\pi}{\sim} \cong S^1,$$命题得证.
$\\$ 证2 考虑映射$$f: R \to S^1, x \mapsto (cos(2 \pi x), sin(2 \pi x)),$$这是一个连续漫射, 并且是一个开映射, 因此是一个商映射. 并且$f( $$ y) = f(x)$当且仅当$y = x + n, n \in Z$, 这说明$f$诱导的等价关系和群作用诱导的等价关系相同, 因此$R / Z = R / \overset{f}{\sim} \cong S^1$.

例2 设$Z^2 \searrow R^2$, $(m, n)((x, y)) := (x + mw_1, y + nw_2)$, $w_1, w_2$是$R^2$上两个线性无关的向量, 则$R^2 / Z^2 \cong T^2$. 类似例1, 构造一个左下角顶点位于原点处, 邻边方向向量分别与$w_1, w_2$平行的单位平行四边形即可证明命题.

例3 设$X = R^{n + 1} / \{ (0, 0, \cdots, 0) \}$, $G = R^*$, $R^*$为$R$中所有非零实数构成的乘法群, $$R^* \searrow X, \\ \lambda(x_1, \cdots, x_{n + 1}) := (\lambda x_1, \cdots, \lambda x_{n + 1}).$$则$X / R^* \cong RP^n$.

例4 设$$G = Z_2 = \{ \pm 1 \} \searrow S^n, \\ (-1)(p) = -p, 1(p) = p, \forall p \in S^n,$$则$S^n / Z_2 \cong RP^n$.

在前几个例子证明商映射的时候, 实际上都需要假设已知轨道空间是Hausdorff空间, 然后才能从”紧致空间到Hausdorff空间的连续满射是商映射” 推导出结论. 在引入自由群作用与纯不连续两个概念以后, 我们就可以很容易地证明轨道空间的Hausdorff性质, 详细内容可参考自由群作用, Proper Maps与纯不连续.