数分的东西都忘了不少…… 来补补课, 在求一些有解析形式的曲线法向的时候很有用~
参考材料
1. 为什么梯度的方向与等高线切线方向垂直？
不妨假设曲线方程为$z=f(x,y)$, 该曲面被平面$z=c$截取得到的曲线方程为
$$z=f(x,y), \\ z=c.$$
而这条曲线在$XOY$平面上的投影为平面曲线$Q:f(x,y)=c$, 并称其为曲线$z=f(x,y)$的等高线.
由于等高线$f(x,y)=c$上任意一点的切线斜率为$dy/dx=-f_x/f_y$(隐函数存在定理), 故其法线斜率为$f_y/f_x$. 又梯度为$(f_x,f_y)$, 其方向为$f_y/f_x$, 由此可以看出梯度的方向与等高线$f(x,y)=c$上任一一点的外法线方向是相同的. 这也就解释了为什么梯度的方向与等高线切线方向垂直的原因.
结论如下: 函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的梯度方向与过点$(x,y)$的等高线$f(x,y)=c$在该点的法线方向相同. 梯度的方向与等高线切线方向垂直.