证明详见书上P115-P116, 有疑问的点在于P116第二段: 可以取一个$k_u \in \mathbb{N}$, 使得$\{U \in 2^{-k_i} \mathcal{W} \ | \ U \cap \bar{A_i} \ne \emptyset\}$构成这个覆盖的开加细.
$\\$ 我个人的理解是: 讨论的开覆盖$\mathcal{U}$是确定了的, 由于是在度量空间中, 那么开集族$\mathcal{U}$总有一个”半径”最小的开集(不妨设为$M$), 因此总可以取一个$k_u \in \mathbb{N}$使得$\{U $$ \in 2^{-k_i}\mathcal{W}|U \cap \bar{A_i} \ne \emptyset\}$中的元素的半径是比$M$的半径还小的, 那么由开加细的定义可知这样的取法是可行的.