这周要开始苦逼的996加班生活了, 昨天版本日加班到12点, 所以今天上午请了个假, 毕竟还是得从自己的身体出发为自己考虑, 为公司拼命怎么想都是不值得的. 从这周开始, 自己也想着坚持每周都起码更新一篇文章, 用以记录当周学习拓扑的过程中学懂的一个小知识点. 话不多说, 进入正题~
证明流形$X$是正则空间, 即任取$x \in X$及其开邻域$U$, 存在$x$的开邻域$V$使得$\bar{V} $$ \subseteq U$.
$\\$ 证: 由流形的定义知任取$x \in X$都存在开邻域$W$同胚于$E_n$, 又$E_n$是一个正则空间, 则$x$在该同胚映射下的像点$y$在$E_n$中任取开邻域都包含$y$的一个开邻域的闭包. 从而由同胚的性质知(好吧, 我承认这一块证明很牵强……), $x \in X$, 也存在开邻域$U$使得$\bar{V} \subseteq U$, 其中$V$是$x$的开邻域. 综上所述, 命题得证.
PS: 还有一个问题是需要证明紧致流形$M$是一个第二可数空间. 证明思路是利用紧致性推出$M$可以被有限个开集$\{U_i\}$覆盖, 使得每个$U_i$都能够同胚于$E_n$, 这个推断确实具备几何直观性, 但严格的证明我还是没想出来, 可能需要基本群的知识来解决叭=.=