本周主要是在学习单纯复形一节, 习题方面还是存在比较多问题的, 主要是书上提供的证明思路太过于简洁, 还没想到如何去证明; 而且目前还对于单纯复形等概念还有点困惑, 所以本文主要是整理一下相关的概念.
1. 抽象单形
目前中文社区还较少人提及抽象复形等相关概念, 所以如果有疑问, 查阅起来还是比较麻烦的, 一般得翻外网才能看到相关讨论. 对于拓扑学家来说, 每一个闭单形的准确几何位置是并不重要的, 只要知道闭单形之间是怎么粘起来的, 就能知道多面体$|K|$的拓扑类型了. 而要想知道闭单形是怎么粘的, 只要知道那些单形的顶点是怎么粘合的就足够了. 比如说, 如果已知一个闭单形的顶点集是$\{A, B, $$ C\}$, 另一个闭单形的顶点集是$\{B, C, D\}$, 那么这一定是两个三角形, 并且它们应当通过以$\{B, C\}$为顶点集的线段(公共边) 粘合. 这个想法再进一步发展就变成了抽象单形的概念.
$\\$ 所以任意一个有限点集我们都能把它称为一个抽象单形, 而把一系列抽象单形放到一个集合里以后, 就能把这个集族称为一个抽象单纯复形, 当然前提是该集族$K$需要满足任取$\sigma \in K$, 它的所有面也都属于$K$的条件, 所以也并不是任取一个集族都能称为一个抽象复形, 这比抽象单形的门槛高多了.
PS: 抽象复形$K$的顶点集一般来说并非一个集族, 它就是其所有单形的顶点集并起来之后的结果=.=
2. 几何实现
而几何实现的概念其实我们在现实生活当中应该接触得更多, 一般地, 如果$J$是一个几何复形, $K$是一个抽象复形, 并且存在$J$的顶点集到$K$的顶点集的双射$\varphi$, 使得$\{v_1, \cdots, v_k\}$是$J$中某个几何单形的顶点集当且仅当$\{\varphi(v_1), \cdots, \varphi(v_k)\}$是$K$中的抽象单形, 则称$J$为$K$的一个几何实现. 简单点来讲, 此处的双射$\varphi$提供的作用就是把$\{v_1, $$ \cdots, v_k\}$这个顶点集中所有的顶点的所有几何属性都给剥离了.
3. 多面体
若$K$是$E^m$中的一个几何复形, 则$E^m$的子空间$\bigcup_{\sigma \in K} \sigma$称为$K$的多面体, 记为$|K|$, 所以多面体本质上也是一个集族. 而当$K$表示一个抽象复形时, 我们把$K$的任何一个几何实现的多面体都称为$K$的多面体, 并在需要的时候把它记为$|K|$, 所以多面体无论如何都是一个几何上的概念.
4. 单纯剖分(三角剖分)
如果$M$是一个拓扑空间, 并且存在抽象复形$K$使得$M$同胚于$|K|$, 则称$M$是一个可剖分空间, 称$K$为其单纯剖分, 也称三角剖分. 故三角剖分也是一个抽象复形上的概念, 为一个集族.
最后, 我们再来看一道习题: 对任意维数$n$构造一个$S^n$的有限单纯剖分. 只要取定顶点集$V = \{v_0, \cdots, v_{n+1}\}$, $V$的所有非空真子集构成的集族$K$就是$S^n$的有限单纯剖分. 证明思路可能有点抽象, 我们就只看一下一维的情况直观理解一下就好(其实是我不会证高维的情况…… 逃ε=ε=ε=┏(゜ロ゜;)┛).
$\\$ 当$n = 1$时, 顶点集$V = \{v_0, v_1, v_2\}$, 它的所有非空真子集构成的集族$K$对应的多面体其实就是一个三角形, 显然, 在平面上一个三角形确实是与一个圆周$S^1$同胚的~ 由此也可以看出, 这里所说的单纯剖分和计算机图形学上的三角剖分并非一个东西, 要知道在平面上单单一个圆周$S^1$的Delaunay三角剖分对应的顶点集的元素数量可都不止3呢~~~