大概三周没有体验到在上午宅家里享受擂茶的感觉了, 下午就要动身去宁波, 所以趁还在蒸午餐的空隙记录一下闭曲面连通和的一些知识点及其相关习题. 一开始没有理解书上对于闭曲面连通和的直观解释: 把一个多边形表示的顶点”炸开”变成一条不与任何其它边粘合的新的边, 相当于在闭曲面上打了个洞, 这个洞的边缘就是那个新得到的边(把两端粘合). 因此连通和的几何直观就是在两个闭曲面上各挖去一个洞(同胚于圆盘), 然后把两者沿着洞的边界(圆周) 粘合.
注意, 上述直观解释的重点已经标粗强调, 是在闭曲面上打洞而非其多边形表示上. 因此容易得到$v(M \# N) = v(M) + v(N) – 1$, 从而由书上P141的命题3.4.1可得闭曲面连通和的Euler示性数为$\chi(M \# N) = \chi(M) + \chi(N) – 2$.
PS: 再顺便记录一道证明题的证明思路, 需要证明$\chi(S^n) = 1 + $$ (-1)^n$.
$\\$ 证: 取定顶点集$V = \{v_0, \cdots, v_{n + 1}\}$, $V$的所有非空真子集构成的集合族$K$就是$S^n$的有限单纯剖分. 由书上P140的定理3.4.1知我们仅需计算$\chi(K)$即可. 又由$n$维有限复形的Euler示性数定义可得$$\chi(K) = C^1_{n + 2} – C^2_{n + 2} + \cdots + (-1)^{n}C^{n + 1}_{n + 2}.$$由二项式定理可知上式结果为$$(1 + (-1))^{n + 2} – (-1)^{-1}C^0_{n + 2}-(-1)^{n + 1}C^{n + 2}_{n + 2} \\ = 0 + 1 + (-1)^{n + 2} = 1 + (-1)^n.$$命题得证.