这周的周末是在汕尾度过的, 周五请了个年假回家, 大概待到下周二~ 虽然只有短短四五天的时间, 但我觉得能回家陪陪爸妈, 看看爷爷奶奶还是很值得的事~ 当然, 工作还是要做的, 休息? 几乎不存在的QAQ 这周主要是在开始学习同调, 算是正式进入代数拓扑的范畴了, 本文主要是记录同调的相关理解及证明.
同调这一块单看书其实还是蛮难理解的, 所以还参考了庄晓波老师的2个B站视频:
1. (55)单纯同调的定义
2. (56)单纯同调计算举例
1. 闭链群, 边缘链群与同调
书上的定义其实有点拗口, 不妨来看看下面这种定义(虽然写法上不算很严谨), 个人觉得更容易理解.
定义1 设$K$为单纯复形, $n \in \mathbb{N}$, 定义$$Z_n(K) = Ker(C_n(K) \overset{\partial_n}{\longrightarrow}C_{n – 1}(K)), \\ B_n(K) = Im(C_{n + 1}(K)\overset{\partial_{n + 1}}{\longrightarrow}C_n(K)).$$特别地, 当$n = 0$时记$Z_0(K) = C_0(K)$. 且由上述定义易知, $B_n( $$ K) \subseteq Z_n( $$ K)$.
定义2 $\forall c_1, c_2 \in Z_n(K)$, 称$c_1, c_2$是同调(homologous) 的, 若$\exists d $$ \in C_{n + 1}(K)$, s.t. $\partial_{n + 1}(d) = c_2 – c_1$.
因此, 从定义上来讲,
$\\$ a) 若要判断一条$n$维链是否在闭链群$Z_n(K)$中, 仅需要判断其边界是否为0即可;
$\\$ b) 若要判断两个处于闭链群$Z_n(K)$中的元素是否同调, 仅需要找到一个处于更高维度的$C_{n+1}(K)$中的链, 使得其边界恰为这两个元素的差(连线) 即可.
2. $H_0(K)$相关命题证明
命题 设$K$为一个单纯复形, $H_0(K)$为一个自由Abel群, 且其秩恰为$|K|$的连通分支的个数.
$\\$ 证: 下述证明参考自庄晓波老师的证明, 其为一个不严格的证明.
$\\$ 若$v$与$w$为$K$的两个0维单形, 且落在$|K|$的同一个连通分支内, 则存在$K$中的一列顶点$v = a_0, a_1, \cdots, a_m = w$, s.t. $\forall i, a_i, a_{i + 1}$为$K$中的1维单形.
$\\$ 因此, 令$$c = (a_0, a_1) + (a_1, a_2) + \cdots + (a_{n – 1}, a_n) \in C_1(K),$$则$\partial_{1}(c) = a_1 – a_0 + a_2 – a_1 + \cdots + a_n – a_{n – 1} = v – w \Rightarrow$落在$|K|$中同一连通分支的任意两个0维单形都是同调的.
$\\$ 设$\{C_\alpha|\alpha \in I\}$为$|K|$的连通分支全体, $\forall \alpha \in I$, 取定0维单形$v_\alpha \in $$ C_\alpha$, 则有满同态$$\underset{\alpha \in I}{\oplus } \mathbb{Z}v_\alpha \to H_0(K) \\ v_\alpha \longmapsto [v_\alpha].$$其中, $\underset{\alpha \in I}{\oplus } \mathbb{Z}v_\alpha \subseteq Z_0(K)$. 故又由群同态第XX基本定理(我也不清楚用的哪个定理, 抽代渣渣QAQ) 可得$$H_0(K) = Z_0(K) / B_0(K) = C_0(K) / B_0(K) \\ = \underset{\alpha \in I}{\oplus} \mathbb{Z} v_\alpha / (\underset{\alpha \in I}{\oplus} \mathbb{Z} v_\alpha \cup B_0(K)).$$接下来证$\underset{\alpha \in I}{\oplus} \mathbb{Z} v_\alpha \cup B_0(K) = 0$. $\forall c \in \underset{\alpha \in I}{\oplus} \mathbb{Z} v_\alpha \cup B_0(K)$, 可设$$c = \sum_\alpha n_\alpha v_\alpha,$$其中$v_\alpha \in C_\alpha$, $n_\alpha$构成的集合中只有有限个非0元素. 又由边缘链定义可知$\exists d \in $$ C_1(K)$, s.t. $c = \partial_1(d)$. 不妨设$d = \sum_\alpha m_\alpha d_\alpha$, 其中$d_\alpha \in C_\alpha$.
$\\$ 故$$c = \partial_1(d) \Leftrightarrow \sum_\alpha n_\alpha v_\alpha = \sum_\alpha m_\alpha \partial_1(d_\alpha) \\ \Leftrightarrow \forall \alpha \in I, n_\alpha v_\alpha = m_\alpha \partial_1(d_\alpha),$$其中$m_\alpha \partial_1(d_\alpha)$为$m_\alpha(w_{\alpha1} – w_{\alpha2})$(两个0维单形的差乘上整数系数) 的形式, 故$$n_\alpha = 0, \forall \alpha \in I \Rightarrow c = 0,$$从而$H_0(K) \cong \underset{\alpha \in I}{\oplus } \mathbb{Z} v_\alpha.$
上述命题直观上来讲, 可以理解为: 设$K$是拓扑空间$M$的一个有限单纯剖分, $A, $$ B$是$K$的两个顶点, 则$[A]$和$[B]$同调当且仅当$A, B$之间有一维单形构成的折线相连, 即它们在$M$中的同一个道路分支中. 由此不难验证, 在每个道路分支中取一个顶点, 则这些顶点对应的零维同调类就构成$H_0(K)$的一组基. 也就是说, Betti数$b_0(K)$就是$M$的道路分支数.
$\\$ 而推广到任意$n$维情形时, 同调就是把两个”端口”理解为$n$维定向单形的线性组合, 把”管子”理解成$n + 1$维定向单形的线性组合, 而如果两个”端口”能被连接起来, 就称它们同调.
3. 同调群与同伦群
一维同调群是基本群的Abel化. 环路$\gamma$在同伦群中不是单位元, 但在同调群中却是单位元. 几何上看, $\gamma$将曲面分成两个连通分支, $\gamma$是其中一个分支的边缘. 在同调群中, 边缘环路被视为单位元.
$\\$ 同调群概念的要义在于: 边的边为空, 圈和边的差别就是同调.
PS: 有一个非常强大的定理: Betti数是拓扑不变量, 即如果拓扑空间$M$有两个有限单纯剖分$K_1,K_2$, 则$b_n(K_1)=b_n(K_2)$. 这个定理说明了Betti数是Well-Defined的, 并且可以帮助我们把拓扑空间上的问题直接转化为有限单纯剖分上的问题.