因为下周的国庆放假调休, 所以这个周末是只剩周六一天的休息时间的. 也挺久没写过博客了, 大概荒废了三四周, 自己终于挺艰难地来到了同伦的世界. 最近其实事情也蛮多的, 主要是一些工作上的需求都被要求在国庆前完成, 而且下周三还要进行组会分享, 所以今天还得集中精力做PPT, 本文就简单地讨论一个关于不动点的同伦问题叭~
设$f:S^1 \to S^1$不与$id:S^1 \to S^1$同伦, 证明存在$x \in S^1$, 使得$f(x) = x$.
$\\$ 证: 问题即要证$f$在$S^1$上存在不动点. 我们可以采用反证法. 不妨令$g = -id$, 假设$f$在$S^1$上不存在不动点, 则任取$x \in S^1$, $f(x) \ne $$ -g(x)$, 即$f(x)$与$g(x)$不会是$S^1$上的对径点. 当我们在$E^2$中作$f$到$g$的直线伦移时, 每条踪都不经过原点, 因此可以用中心投影变成$S^1$上的踪. 换言之, 令$$h_t(x) = \frac{(1 – t)f(x) + tg(x)}{\left \| (1 – t)f(x) + tg(x) \right \|},$$则$h_t$定义了一个$S^1$上的从$f$到$g$的伦移, 即$f$与$-id$同伦.
$\\$ 接下来我们再证$id$与$-id$在$S^1$上同伦. 任取$x \in S^1$, 不妨设$v(x) \perp $$ x$, $\left \| v(x) \right \| $$ = 1$, 则$v(x) \in S^1$. 构造映射$F: S^1 \times I \to S^1, I = $$ [0, 1]$如下: $$F(x,t) = cos(\pi t) \cdot x + sin(\pi t) \cdot v(x).$$ 易知, $F$是Well-Defined的(单射). 且$F(x, 0) = x$, $F(x,1) = -x$, 于是$id$与$-id$通过$F$同伦等价.
$\\$ 又由同伦的传递性可知, $f$与$id$同伦, 这与问题条件矛盾, 故命题得证.
$\\$ 由上述证明过程可知, 上述命题对于$S^n, n>1$亦成立.