今年的国庆假期依旧是在家中度过的, 感觉很不错, 又是一个可以在家里宅爽一周的假期hhh~ 回到家里的这几天主要精力都放在了傅孝明老师的数字几何处理网课上, 代数拓扑的学习反而有点松懈了, 接下来的几天假期的学习计划需要好好调整一下. 本文主要是记录形变收缩这一块知识点的相关笔记~
参考材料
1. 如何证明A不是X的强形变收缩核？
2. 如何直观地区分收缩核，形变收缩核，强形变收缩核？
1. 伦移的直观解释
在很多拓扑的科普文里, 通常会把同胚描绘成”一个捏橡皮泥的过程”. 私以为, 这是比较片面的一种说法: 首先, 同胚只是一个映射而非逐渐变形的过程; 其次, 同胚只是同伦等价的一种特殊情形. 相比较同胚, 伦移的概念更像是描述”逐渐变形的过程”的术语. 与之相应的, 有一个描述两个拓扑空间”连续变形”的状态的术语, 这便是同伦等价.
2. 庞加莱猜想
目前我所了解到的同伦等价的作用, 便是在计算基本群时简化计算, 因为我们可以把一个相对复杂的原始空间同伦等价到一个相对简单的形状, 然后再进行基本群的计算. 但是, 这个技巧也有一个缺点: 如果两个空间同伦等价, 那我们习得的很多代数拓扑工具将很难区分它们. 庞加莱在发明基本群的时候就曾经提出过这样一个猜想: 如果一个闭三维流形$X$的基本群和三维球面$S^2$的基本群一样平凡, 是否能肯定$X$同胚于$S^3$? 因为由闭曲面分类定理可知基本群平凡的闭曲面一定同胚于$S^2$, 所以庞加莱大胆地认为该猜想在三维情形下也能成立, 这便是著名的庞加莱猜想.
$\\$ 当然, 庞加莱猜想悬而未决的时间长达半个多世纪, 直到1960年Smale才突然发现它的高维推广似乎更容易证明一些, 并证明了$n \ge 5$的情形; 而直到2006年, 庞加莱猜想才被俄国数学家佩雷尔曼最终解决.
3. 形变收缩
先来看看形变收缩的定义: 设$A \subseteq X$, $i : A \hookrightarrow X$是包含映射. 如果映射$r : X $$ \to A$满足$r \circ i = r|_A = id_A$, 则称之为收缩映射, 称$A$为$X$的收缩核. 如果一个收缩映射$r$还满足$i \circ r \cong id_X$, 则称之为形变收缩, 称$A$为$X$的形变收缩核. 如果形变收缩$r$还满足$i \circ r \cong
$$ id_X\ rel\ A$, 则称之为强形变收缩, 称$A$为$X$的强形变收缩核.
$\\$ 这一串定义看起来很冗长且抽象, 其实仔细思考以后也不难理解. 后面一个概念总是在前面一个概念的基础之上添加了某些条件定义得到的. 需要注意的是, 收缩映射的定义中, $r \circ i$是与$id_A$相等的, 而在定义中, 则还要求$i \circ r$与$id_X$同伦; 而当讨论强形变收缩时, 则需注意, 在”收缩”过程中, 若$X$的子集$A$中的点的”位置”始终保持不变, 则称子集$A$为$X$的强形变收缩核.
$\\$ 可以看出, 形变收缩是一类特殊的同伦等价: 如果$r$是形变收缩, 则$r$和$i$互为同伦逆, 但形变收缩要比一般的同伦等价直观得多. 因此, 我们经常在一些相关例子中可以看到”打洞”的操作, 来把某个拓扑空间收缩到另外一个拓扑空间中, 它们是同伦等价的, 这样便可以简化一些基本群等的计算.
4. 同伦的复合运算的相关引理
经常可以看到在一些同伦命题的相关证明中, 直接就用到了下面的引理, 可以极大地简化同伦的复合运算.
引理 若$X \overset{f}{\rightarrow} Y \overset{h_1, h_2}{\longrightarrow} Z \overset{g}{\rightarrow} W$, 且$h_1 \cong h_2$, 则$h_1 \circ f \cong h_2 \circ f$, $g \circ h_1 \cong g $$ \circ h_2$.
$\\$ 这个引理直接利用同伦的定义即可证.
5. 强形变收缩相关习题
命题 令$X= \{ (x, y) \in E^2 | x \in Q \ or \ y = 0 \}$, 证明$(0, 1)$不是$X$的强形变收缩核.
$\\$ 证: 可以先直观上来理解一下这个命题: 如果$(0, 1)$保持不动, 那么左右两边的点始终处于附近, 但是左右两边的点要收缩到$(0, 1)$就必须经过$x$轴.
$\\$ 采用反证法, 假设$(0, 1)$是$X$的强形变收缩核, $H : X \times I \to X$为相应的强形变收缩映射, 其中$I = [0, 1]$. 取定$$U = \{ (x, y) \in X | y > 0 \},$$由Tube引理可知存在$(0, 1)$的邻域$V \subseteq U$. 不失一般性地, 我们可以令$$V = \{ (\frac{1}{n}, y) \in X | n = 1, 2, \cdots, 0 \le y \le 1 \} \cup ({0} \times I),$$则$V$为$X$的紧子集. 由康托一致性定理可知$H$限制在$V \times I$上是一致连续的.
$\\$ 故$\exists \delta > 0$, s.t. $d((x_1, y_1, t_1), (x_2, y_2, t_2)) < \delta$, $(x_1, y_1, t_1)$, $(x_2, $$ y_2, t_2) \in $$ V \times I $$ \Rightarrow d(H((x_1, y_1, t_1)), H((x_2, y_2, t_2))) < 1/2$, 其中, $d$为一般的欧氏距离.
$\\$ 取充分大的自然数$n$使得$1/n < \delta$. 由于原点$(0, 0)$是$V$的一个分割点, 即去掉$(0, 0)$以后$V$能够被分解成两个非空开集的并集, 故由介值定理可知存在一个时间$t_0$使得$H(1/n, 1, t_0) = (0, 0)$. 而由于$H$是一个强形变收缩, $H(0, 1, t_0) = $$ (0, 1)$, 从而$(1/n, 1, t_0)$, $(0, 1, $$ t_0)$之间的距离小于$\delta$. 然而$$d(H((1/n, 1, t_0)),H((0, 1, t_0))) \\ = d((0, 0), (0, 1)) = 1 > 1/2,$$产生矛盾, 故命题得证.
PS: 若要证明两个拓扑空间不同胚, 有一个很取巧的做法是: 分别从两个拓扑空间中”挖”去一点, 然后考察两个余集的连通性即可, 但”挖”去的点不是任意的, 证明的语言应该严谨, 下面是一个反例.
命题 设$X$是两个相切的圆周的并集, $Y$是一个正方形的四条边加上一条对角线的并集, 证明$X$和$Y$不同胚.
$\\$ 误证: $X$去掉切点后有两个分支, 而$Y$去掉一点后仍然连通.
$\\$ 此处证明的出发点是对的, 但语言不够严谨, 容易产生歧义, 因为我们仅需要考虑$Y$中去掉一个特殊点后的连通性即可, 正确证明如下所示.
证: 假设存在同胚$f:X \longrightarrow Y$, 记$x$为$X$的切点, 设$f(x)=y$, 则$f$诱导$X \backslash \{ $$ x \}$到$Y \backslash \{ y \}$的同胚. 又$X \backslash \{ x \}$有两个分支, $Y \backslash \{ y \}$连通. 而连通性是一种拓扑性质, 这个矛盾就说明假设错误, 即$X$和$Y$不同胚.