今天算是国庆假期的最后一天了, 虽然明天也不用上班, 但时间基本都花在路上了, 所以我内心也就不把明天当假期了…… 哎, 又要回去996了, 内心有一丢丢不爽, 但这也是新生代农民工的无奈吧QAQ 不过今年的这个国庆假期算起来也有11天了呢, 也该知足了哈哈~ 本周主要复习了关于群的常用知识, 以及学习了基本群的概念. 群的概念是在本科时便接触过的, 所以本文也不再赘述, 只记录一些个人感觉理解得更为深刻的关于群的知识点.
1. 群的定义
如果集合$G$以及映射$\mu : G \times G \to G$满足:
$\\$ (1) 结合律: $\forall a, b, c \in G$,$$\mu(\mu(a, b), c) = \mu(a, \mu(b, c));$$(2) 存在幺元$1_\mu \in G$, 使得$\forall a \in G$,$$\mu(1_\mu, a) =\mu(a, 1_\mu) = a;$$(3) 任取$a \in G$, 存在逆元$a^{-1}_\mu \in G$, 使得$$\mu(a, a^{-1}_\mu) = \mu(a^{-1}_\mu, a) = 1_\mu,$$则称$(G,\mu)$为一个群, 称$\mu$为群的运算.
$\\$ 容易验证一个群$G$的幺元一定是唯一的, 而且任取$a \in G$, $a$的逆元也一定是唯一的. 在不引起混淆的情况下, 我们也把群的运算简称为乘法, 并把$\mu(a, b)$简记为$ab$, 把$1_\mu$简记为1, 把$a^{-1}_\mu$简记为$a^{-1}$. 这样, 就可以把关于群的这三条公理重写成下述更容易理解和记忆的方式:
(1) 乘法结合律: $(ab)c = a(bc)$;
(2) 存在幺元1, 使得$1a = a1 = a$;
(3) 每个$a$有逆元$a^{-1}$, 使得$aa^{-1} = a^{-1}a = 1$.
$\\$ 现在很多教材都直接采用了第二种被简化后的定义, 我个人觉得是不够严谨的, 应该把映射的概念也引入其中, 这样才能更深刻地理解群的运算. 同时, 引入映射$\mu:G \times G \to G$也间接地说明了群的运算的封闭性.
2. 其它概念
$\cdot$ 平凡子群与平凡群: 每个群至少要含有一个元素, 即幺元1, 于是每个群$G$的幺元都单独构成$G$的一个子群, 称为其平凡子群. 一个群中如果除了幺元外没有其它元素, 则称之为平凡群.
$\\$ $\cdot$ 挠元与自由元: 若存在正整数$n$, 使得$a^n = 1$, 则称$a$为挠元, 否则称$a$为自由元. 设$f:G \to H$是同态, 则$f(a^k) = f(a)^k$, 这说明同态把挠元一定变成挠元(但是可以把自由元变成自由元或挠元). 特别地, 如果有同态$f: Z_n \to Z$, 其中, $Z_n = \{ 0, 1, \cdots, n – 1 \}$, $Z_n$上的运算与模$n$的运算有关, 则$f$是平凡同态, 因为$Z_n$中的元素全都是挠元, 而$Z$中的非0元素全都是自由元.
$\\$ $\cdot$ 自然同态: 设$H$是$G$的一个正规子群, 记所有$H$的左陪集(也等于右陪集) 构成的集合为$G/H$, 在其上定义乘法运算为$$\mu(aH, bH) = abH,$$则$(G/H, \mu)$也构成一个群, 称为$G$关于$H$的商群.$$\pi: G \to G/H, a \mapsto aH$$是群的同态, 称为该商群的自然同态.
3. 同态基本定理
设$f:G \to H$是个同态, 则$G/Kerf \cong Imf$.
$\\$ 有些教材又把同态基本定理称为第一同构定理, 从名字上我们也可以看出还有第二同构定理, 第三同构定理等等, 不过我们接下来也不会用到那些代数技术, 故不再赘述. 同态基本定理在抽象代数中非常重要, 直接记住一句话即可: 定义域集合模去同态的核与同态的像是同构的~
4. 相关习题
命题: 设$f:Z \to Z$是满同态, 证明$f$是同构.
$\\$ 证: (Emm……感觉题目缺了条件=.=) 即仅需证$f$是单同态即可, 由同态定义可知$f(n) = nf(1)$. 因此当$f(1) = \pm 1$时$f$是同构, 此时命题得证.
接下来可以开干基本群啦! 冲冲冲!!!