今天还是坚持更新来了, 吼吼~ 今天主要的学习精力都放在傅孝明老师的数字几何处理网课上了, 因为内心里还是想系统地学完数字几何处理的. 所以预计接下来的代数拓扑系列的文章都会划水得多了(没错, 包括本文2333)…… 基本群是一个非常重要的代数拓扑不变量, 同胚的拓扑空间具有同构的基本群, 因此可以把一些拓扑问题转化为代数问题解决, 虽然基本群并不比同调群好算就对了…… 论文An Efficient Computation of Handle and Tunnel Loops via Reeb Graphs里计算的也是同调群而非基本群~
1. 基本群
基本群$\pi_1(X, x_0)$是1维的同伦群, 此处的维数指的是我们考虑的道路类中的道路的定义域的维数, 如基本群讨论的道路类中的道路的定义域是$[0, 1]$, 其维数为1. 基本群的元素是道路类, 可以认为是把道路再抽象一次得到的一个代数结构, 因为道路的本质是一个从$[0, 1]$到拓扑空间$X$的映射, 因此基本群本质上便是一个定端同伦的映射的集合的集合. 不得不佩服拓扑学家们, 总是能够通过不断抽象的思维看到更为本质的内容.
2. 推送同构
由基本群的定义可以看出, 基本群是依赖于基点的选择的. 而推送同构考虑的便是如果基点的选择发生改变, 对基本群的计算结果会产生什么样的影响呢? 需要注意的是, 书上P178 定理4.4.2中并没有强调$x_0$与$x_1$是处于同一个道路分支里的, 而这个条件其实是必要的, 因为如果$x_0$与$x_1$不处于同一个道路分支里, 则计算得到的$\pi_1(X, x_0)$与$\pi_1(X, x_1)$没有任何关系. 由推送同构的定义可以看出, 推送同构建立起了$\pi_1(X, x_0)$到$\pi_1(X, x_1)$的同构关系, 也从侧面说明, 在同构意义上, 一个道路连通空间的基本群与基点的选择无关.
$\\$ 此外, 推送同构涉及到道路类的乘积, 在证明时需要转化为同伦的问题, 这样一种转化思维是由道路类的乘积定义决定的, 即若$a, b, c$是拓扑空间$X$上的道路, 且道路$a$的终点是道路$b$的起点, 则$$\left \langle a \right \rangle \left \langle b \right \rangle = \left \langle c \right \rangle \Leftrightarrow ab \cong c,$$其中$\left \langle a \right \rangle$表示$a$所在的道路类.