这周开始终于又拥有周末了, 原定于11月份的加班推迟到12月份了, 不过班还是要加的=.= 之前也说过了, 接下来的周末会优先学习傅孝明老师的数字几何处理网课, 所以代数拓扑的博客质量还是会受到一些影响. (哇咔咔, 又为自己水文找到了一个正当理由吼吼(●’◡’●)) 本文主要是用于记录几道自我感觉值得说明的基本群相关的习题.
1. 设$X$是$E^n$中的凸子集, 证明$X$单连通.
$\\$ 证: 即要证任意闭道路$p(s), s \in [0, 1]$定端同伦于点道路$a$. 可取伦移$$H(s, t) = ta + (1 – t)p(s), t \in [0, 1],$$其中$H(s, 0) = p(s)$, $H(s, 1) = a$, 且由于$X$是$E^n$中的凸子集, 伦移$H(s, t)$的像始终在$X$中, 故命题得证.
2. 设$X$有一族单连通的开子空间$X_1, X_2, \cdots$, 使得每个$X_i \subseteq X_{i + 1}$, 并且$X = $$ \bigcup_{i = 0}^{\infty} X_i$, 证明$X$单连通.
$\\$ 证: 任取闭道路$a: [0, 1] \to X$, 则$a([0, 1])$紧致, 因此被有限多个$X_i$覆盖, 又由每个$X_i \subseteq X_{i + 1}$可知闭道路$a$必被包含于某个$X_k$中, 从而闭道路$a$定端同伦于任意点道路(点道路也是一种特殊的闭道路), 故命题得证.
3. 设$A \subseteq E^2$道路连通, 并且$S^1 \subseteq A, (0, 0) \notin A$. 证明$A$不单连通.
$\\$ 证: $S^1$是$A$的收缩核, 而收缩映射$r$满足$r \circ i = id_A$, 从而$r_\pi \circ i_\pi = $$ (r \circ i)_\pi$与$(id_A)_\pi$仅相差一个基点的推送同构, 这说明$r_\pi \circ i_\pi$也是同构. 故收缩映射$r$诱导了一个满的基本群同态$r_\pi : \pi_1(A, x_0) \to \pi_1( $$ S^1, r(x_0))$, 而$S^1$不是单连通的(参考S^1是多连通的), 从而$A$亦非单连通, 命题得证.