又是开始周六加班的一周, 哎, 还是要在业余时间坚持学完代数拓扑吼吼~ 目前学习到有限表出群一节, 说实话, 看到交换化系数矩阵部分时, 我已经有点懵逼了…… 所以最近两周以来重心主要放在了庄晓波老师的代数拓扑的视频学习上, 希望能加深自由积与生成元等知识点的理解. 本文旨在简单记录一下自由群相关的知识点.
参考材料
1. 自由群
2. 5. 置换群、单群、可解群、自同构群、自由群
通过字的等价类去定义自由群, 这是个人比较喜欢同时觉得也比较容易理解的方式. 在定义自由群之前, 我们先定义字的等价类: 如果两个字通过约化操作能够得到同一个既约文字, 则称这两个字是等价的. 这样一来, 我们便可以定义自由群.
定义 设$F(S)$为集合$S \cup S^{-1}$上字的等价类集合, 定义$F(S)$上的乘法为$[u][v] $$ = [uv]$, 则$F(S)$在此乘法定义下构成一个群, 称$F(S)$为定义在$S$上的自由群.
$\\$ 由上述定义可知, 若想要把任意一个集合改造成自由群, 先要取该集合的逆集(即该集合的所有元素在乘法运算下的逆元构成的集合), 再构造既约文字, 最后进行乘法运算即可.
$\\$ 自由群的意义在于它的商群可以表达任一群. 也就是说, 我们可以在自由群上添加各种各样的关系, 使得它们能变成各种各样的群, 例如循环群, Abel群, 其理论保证是如下定理,
任意一群$G$都是某个自由群的同态像.
由上述定理可知, 同态(由同态基本定理可知相当于商群) 就是添加一种等价关系, 从而我们能够进一步分类. 我们对一个集合添加关系后可以得到一个自由群, 再添加关系, 又可以得到任意一个群.
PS:
$\\$ 1. 一定要学会从关系的角度来解释代数学中的很多概念, 有些看起来不清不楚的, 通过解读关系, 都能变得很清晰.
$\\$ 2. 自由群添加关系后变成任意一个群, 这句话其实给出了一个任意群的标准写法, 我们只要给出一个自由群, 然后注明它添加了什么样的关系就够了.