因为杭州疫情被”困”在家中了…… 本文主要补充书上Seifert & Van Kampen定理的相关例子中一些疑惑点的注记.
1. 单连通空间应用Seifert & Van Kampen定理的相关注记
由单连通空间定义知, 其基本群为平凡群(仅含单位元). 又由生成元及生成关系的定义知, 生成元为群中的非单位元, 而生成关系为生成元所生成的自由群中的元素, 故单连通空间的表出为$\left \langle \ | \ \right \rangle$.
$\\$ 进一步地, 可缩空间是道路连通的(因为它与道路连通的单点空间同伦等价), 并且具有平凡的基本群, 因而是单连通的. 进而由上述讨论可知, 可缩空间的表出亦为$\left \langle \ | \ \right \rangle$.
2. 环面$T^2$基本群表出计算过程中的相关注记
由于计算过程较长, 故此处不列出全部证明过程. 稍有疑惑的点在于书上P205第二段中的论述: 从正方形右上角出发逆时针一圈的道路恰好是$ab \bar{a} \bar{b}$, 因此在$Y$中$c \simeq \bar{w} ab \bar{a} \bar{b}w$, 即$$\left \langle c \right \rangle_Y = w_{\#}(\left \langle a \right \rangle_Y \left \langle b \right \rangle_Y \left \langle a \right \rangle_Y^{-1} \left \langle b \right \rangle_Y^{-1}).$$由于在$Y$中, $c$为以$y_0$为基点的闭道路, $ab \bar{a} \bar{b}$亦为一条闭道路, 其基点不一定为$y_0$. 又$Y$为一个道路连通空间, 则有$c \simeq \bar{w} ab \bar{a} \bar{b} w$, 其中, $w$为一条从$ab \bar{a} \bar{b}$的基点到$c$的基点$y_0$的道路.
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1. 基本群的计算
2. 7. 基本群 (I)