这周开始, 算是正式投入新项目组的工作中了. 目前接触的工作内容个人还是蛮感兴趣的, 尤其是程序化关卡制作工具的迭代工作也交接到了我的手上, 希望自己接下来能重点学习相关内容并有所成果叭~ 也算是学习了挺久的基本群了, 本文主要是对其应用作一个相关的注记与总结.
参考材料
1. Equivalence homotopy between R2\-{(0,0)} and a convex set without a point
2. 求问如何证明三个交于一条公共边的三角形的并集不是流形?
1. 单连通空间到非单连通空间的映射诱导的同态不可能为满映射.
$\\$ 证: 单连通空间的基本群为一个平凡群, 仅含单位元, 而非单连通空间的基本群为非平凡群, 其元素数量大于1, 故命题得证.
2. 仿照”内点不是边界点”的定理证明, 证明三个交于一条公共边的三角形的并集不是流形, 换言之如果单纯复形$K$是一个曲面的单纯剖分, 则每个一维单形至多只能是两个二维单形的面.
$\\$ 证: (这个命题在工程上的应用价值是十分巨大的.) 记$p$为那条公共边的中点, 任取$p$的邻域$U$(同胚于$E^n$的一个开子集), 存在充分小的球形邻域$B_\epsilon(p)$, 使得$\partial
$$ B_\epsilon(p) = \overline{B_\epsilon(p)} \backslash B_\epsilon(p)$是$U \backslash \{ p \}$的收缩核, 因此存在从$\pi_1(U \backslash \{ p \})$到$\pi_1(\partial $$ B_\epsilon(p))$的满同态.
$\\$ 由于$p$为三个三角形的公共边的中点, 故$\partial B_\epsilon(p)$同胚于三个共用直径的半圆周的并集(不包括直径), 这时候可以把其中一个半圆周收缩至一点，则剩下两个半圆周的直径上的对径点也被收缩至同一点上，从而$\partial B_\epsilon(p)$与两个圆周的一点并同伦等价, 即$\pi_1(\partial B_\epsilon(p)) \cong $$ Z * Z$. 又$U \backslash \{ p \} \cong E^2 \backslash \{ p \} \cong S^2$, 故$U \backslash \{ p \}$为一个单连通空间. 最后利用上题结论得到矛盾, 命题得证.
3. 求证$U \backslash \{ p \} \cong E^n \backslash \{ q \}$, 其中, $U$为$E^n$中的一个凸子集, $p \in $$ int(U)$, $q \in $$ E^n$.
$\\$ 证: (尽管这个命题和基本群的关系不大, 但却是上题解答中间接引用的一个命题.) 不失一般性地, 我们可令点$p, q$均为原点(因为假如不是我们可以通过同胚映射$x \to x – p$或者$x \to x – q$”移动”整个集合). 因为原点在$int(U)$中, 故存在球心为原点的开球包含于$int(U)$中, 从而存在一个闭球$D$(前述开球的子集) 包含于$int(U)$中, 且其球心为原点, 半径为$r$. 接下来定义同伦映射$H: U \times I \to $$ U$如下所示,$$\left\{\begin{matrix}
x, if \ x \in D. \\
(1 – t) \cdot x + t \cdot r \cdot \frac{x}{\left \| x \right \| }, otherwise.
\end{matrix}\right.$$注意到上述映射是Well-Defined的(同伦映射$H$的值总是处于凸集$U$中的), 同时也是连续的. 上述映射也给出了凸集$U$到闭球$D$的形变收缩, 故凸集$U$与闭球$D$同伦等价. 特别地, 上述映射也诱导了$U \backslash \{ (0, $$ \cdots, 0) \}$到闭球$D \backslash \{ (0, \cdots ,0) \}$的同伦映射. 同理可得$E^n \backslash \{ (0, $$ \cdots, 0) \}$到闭球$D \backslash \{ (0, \cdots ,0) \}$的同伦映射. 故命题得证.
4.
形变收缩和同胚不是一回事, 同胚是可逆的, 形变收缩只能缩过去, 没有扩张回来的说法, 因此是单向的.
5. 设连续映射$f: D^2 \to D^2$无不动点, 连续映射$g: S^1 \to S^1$, $x $$ \mapsto \frac{x – f(x)}{\| x – f(x) \|}$, 求证任取$x \in S^1$, $g(x) \ne -x$, 此处$\| x \|$表示二维向量的长度.
$\\$ 证: 使用反证法, 若存在$x_0 \in S^1$, 使得$g(x_0) = -x_0$, 则有$$\frac{x_0 – f(x_0)}{\| x_0 – f(x_|0) \|} = -x_0, \\ \Rightarrow (1 + \| x_0 – f(x_0) \|)x_0 = f(x_0),$$两边取其范数, 左式范数必大于1, 而右式范数必不大于1($\because \| x_0 \| = $$ 1$, $f(x_0) \in
$$ D^2$, $\| f(x_0) \| \le 1$), 得到矛盾, 命题得证.
$\\$ PS: 该命题也被应用于书上P213 Brouwer不动点定理的证明当中.
6. 利用Brouwer不动点定理证明: 任取一个由非负实数构成的$3 \times 3$可逆矩阵, 它一定有一个正的特征值.
$\\$ 证: 设$A$是一个这样的矩阵. 记$M$为分量全是正数并且长度为1的3维列向量构成的空间, 则可以定义$f: M \to M, x \mapsto \frac{Ax}{\| Ax \|}$. 而$M \cong $$ D^2$(想象一个半球面), 因此$f$有不动点$x_0$. $\| Ax_0 \|$就是一个正特征值.
7. 设$X$是闭圆盘的收缩核, 证明$X$上的任何连续自映射也一定存在不动点.
$\\$ 证: 设$r: D^2 \to X$是收缩映射. 任取连续映射$f: X \to X$, 则$f \circ r $$ : D^2 \to $$ D^2$一定有不动点$p$, 即$(f \circ r)(p) = p \in X$. 又$r(p) = p$, 因此$p$也是$f$的不动点.