这周是依旧宅家的一周, 下周便是清明假期了, 去年去了南京玩, 今年由于疫情估计哪也去不了了, 就乖乖呆在宁波玩叭~ 映射度是在学习基本群的应用时看到的一个概念, 可以极大地简化很多定理的证明过程, 如Brouwer不动点定理与代数基本定理.
参考材料
1. 从环绕数到映射度（一）
2. 什么是覆叠映射(covering map)？覆叠映射有哪些性质？
定义 设连续映射$f: S^1 \to S^1$满足$$f_\pi(\left \langle a_{1, 0} \right \rangle) = \left \langle a_{1, \theta} \right \rangle ^n，$$则称$n$为$f$的映射度, 记为$deg\ f$. 其中, $a_{n, \theta}$是以$x_0 = (cos\theta, sin\theta) $$ \in S^1$为基点的绕圆周$n$圈的闭道路:$$a_{n, \theta} : [0, 1] \to S^1, t \mapsto (cos(2\pi nt + \theta), sin(2\pi nt + \theta)).$$此外, $\left \langle a_{n, \theta} \right \rangle = \left \langle a_{1, \theta} \right \rangle ^n$.
从映射度的定义出发, 我们可以得到一个十分直观的几何解释: 连续映射$f$可以看作圆上的一个封闭路径, 若$deg\ f = n$, 则说明沿着路径走完回到出发点后, 绕”中心”转了$n$圈.