今天是呆在盛庐小区的最后一个周日, 下周六就要搬家了. 对新的环境始终有一丝隐隐的不安, 包括上班出行方式的变化等等. 但人嘛, 始终要勇敢走出自己的舒适区不是吗, 搬家如是, 其它事情亦如是. 这周其实对于代数拓扑的学习进度堪忧, 一方面是准备搬家, 另一方面是在王者峡谷中冲分荣耀王者2333…… 现在目标已经达到了, 希望下一周开始能在准备搬家之余尽可能地学习叭~ 本文主要是记录了零伦引理及其证明要点.
参考材料
1. Jordan曲线定理读书笔记
零伦引理 设$A$紧致, $f: A \to S^2 \backslash \{ p, q \}$连续, 并且$p, q$在$S^2 \backslash A$的同一个道路分支内, 则$f$零伦.
$\\$ 证: 此处证明过程参考了上述参考文献中的证明, 其与书上的证明思路基本上是一致的, 但私以为书上的论述语言有点问题, 不容易理解.
$\\$ 取$\rho: S^2 \backslash \{ q \} \to E^2$是同胚(类似于球极投影, 相当于把$q$变到无穷远处), 且$\rho(p) = (0, 0)$, 则$f: A \to S^2 $$ \backslash \{ p, q \}$零伦等价于$\tilde{f} := $$ \rho \circ f: A \to E^2 \backslash $$ \{ (0, 0) \}$零伦. 所以只需证若$\tilde{f}: A \to $$ E^2 \backslash \{ (0, $$ 0) \}$连续, 且$(0, 0)$在$E^2 \backslash \tilde{f}( $$ A)$的无界道路分支(同胚变换保证了$p$, $q$的像点依旧处于同一个道路分支内), 则$\tilde{f}$是零伦的.
$\\$ 因为$A$紧, 所以$\tilde{f}(A)$紧, 取$R < 0$使得$\tilde{f}(A) \subset B_R((0, 0)) =: B$. 设$x_0 \in $$ E^2$, $x_0 \ne B$, 则$x_0$亦属于$E^2 \backslash \tilde{f}(A)$的无界道路分支.
$\\$ 由于$(0, 0)$与$x_0$均处于无界道路分支中, 故存在$E^2 \backslash \tilde{f}(A)$中的道路$\tilde{a}$连接$(0, 0)$与$x_0$, 从而可以定义同伦:$$g_t: A \to E^2 \backslash \{ (0, 0) \}, g_t(x) = \tilde{f}(x) - \tilde{a}(t),$$注意到$g_t(x) \in E^2 \backslash \{ (0, 0) \}$, 因为$\tilde{f}(x) \in \tilde{f}(A)$, $\tilde{a}(t) \notin \tilde{f}(A)$. 并且任取$t $$ \in [0, 1]$, $g_t \simeq g_0 = \tilde{f}$, $g_1(x) = \tilde{f}(x) - x_0$.
$\\$ 再定义同伦$$h_t: A \to E^2 \backslash \{ (0, 0) \}, h_t(x) = t\tilde{f}(x) - x_0.$$因为$\left \| t\tilde{f}(x) \right \| \le \left \| \tilde{f}(x) \right \| < R < \left \| x_0 \right \|$, 所以$h_t(x) \ne (0, 0)$, 且$h_0(x) = - $$ x_0$, $h_1(x) = \tilde{f}(x) - x_0$, 故$\tilde{f}(x) - x_0$零伦, 从而$\tilde{f}$零伦, 命题得证.