最近在跟着Ph.D Pierre Albin老师的代数拓扑视频课程进行代数拓扑的复习, 所用的教材为Hatcher的Algebraic Topology. 原本以为Ph.D Pierre Albin老师会把教材上的每一个知识点都讲解得十分详细, 结果第0章就寥寥数语带过去了, 也是令我有点小郁闷, 因为之前刚好在第0章的某些论述上卡住了…… 上周刚看完圆周的基本群一小节的视频, 还是有些迷惑之处, 这次就再详细地读读教材上的相关证明~
参考材料
1. Hatcher A .Algebraic Topology[J].second order equations with nonnegative characteristic form, 2002.DOI:10.1002/9781118535523.ch9.
2. S^1的基本群
引理1 给定一个映射$F: Y \times I \to X$, 其在$Y \times \{ 0 \}$上的限制$F | Y \times $$ \{ 0 \}$的提升为$\widetilde{F}: Y \times \{ 0 \} \to \widetilde{X}$, 则映射$F$存在一个唯一的提升$\widetilde{F}: $$ Y \times I \to \widetilde{X}$, 其在$Y \times \{ 0 \}$上的限制为$\widetilde{F}$.
$\\$ 证: 首先, 对于给定点$y_0 \in Y$及其在$Y$中的邻域$N$, 我们需要构建一个提升$\widetilde{F}: $$ N \times I \to \widetilde{X}$. 由于$F$是连续的, $\forall (y_0, t) \in Y \times I$均存在一个邻域$N_t \times (a_t, $$ b_t)$, s.t. $F(N_t \times (a_t, b_t))$被包含于$F(y_0, t)$的一个均匀覆盖的邻域内. 由$\{ y_0 \} $$ \times I$的紧性, 存在有限多个邻域$N_t \times (a_t, $$ b_t)$覆盖$\{ y_0 \} \times I$. 这意味着我们可以选择$y_0$的一个邻域$N$与$I$的一个剖分$0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_m = 1$, s.t. 对于$\forall i$, $F(N \times [t_i, t_{i + 1}])$被包含于一个均匀覆盖的邻域$U_i$内. 接下来使用归纳法选择邻域$N$并构造提升$\widetilde{F}$, 不妨假设由$N \times \{ 0 \}$上的$\widetilde{F}$出发, 可在$N \times [0, t_i]$上构造得到$\widetilde{F}$. 由于$U_i$是均匀覆盖的, 故存在一个包含点$\widetilde{F}(y_0, t_i)$的连通开集$\widetilde{U_i} \subset \widetilde{X}$, 其通过$p$同胚映射至$U_i$. 在将$N \times \{ t_i \}$替换为其与$$(\widetilde{F} | N \times \{ t_i \})^{-1}(\widetilde{U_i}) = p^{-1} \circ (F | N \times \{ t_i \})(\widetilde{U_i})$$的交集后, 我们可以确保$F(N \times [t_i, t_{i + 1}]) \subset U_i$, 且$\widetilde{F}(N \times \{ t_i \})$被包含于$\widetilde{U_i}$内. 如此一来, 我们便可在$N \times [t_i, t_{i + 1}]$上将$\widetilde{F}$定义为$F$与同胚$p^{-1}: U_i \to $$ \widetilde{U_i}$的复合函数. 经过有限步骤后, 对于$y_0$的某些邻域$N$, 我们可得其提升$\widetilde{F}: N $$ \times I \to \widetilde{X}$.
$\\$ 接下来我们给出当$Y$为单点集时引理的唯一性. 在这种情况下, 我们可在证明过程中省略$Y$的符号. 不妨假设$\widetilde{F}$与$\widetilde{F}'$为$F: I \to X$的两个提升, s.t. $\widetilde{F}(0) = $$ \widetilde{F}'(0)$. 类似地, 选择$I$的一个剖分$0 = t_0 < t_1 < \cdots $$ < t_m = 1$, s.t. $\forall i$, $F([t_i, $$ t_{i + 1}])$被包含于一个均匀覆盖的邻域$U_i$内. 使用归纳法假设在$[0, t_i]$上有$\widetilde{F} = $$ \widetilde{F}'$, 由于$[t_i, $$ t_{i + 1}]$是连通的, 故$\widetilde{F}([ $$ t_i, t_{i + 1}])$亦是连通的, 从而$\widetilde{F}([t_i, t_{i + 1}])$必被包含于一个与$U_i$同胚的连通开集$\widetilde{U_i}$内. 类似地,
$\widetilde{F}'([t_i, t_{i + 1}])$亦被包含于连通开集$\widetilde{U_i}$内($\widetilde{F}(t_i) $$ = \widetilde{F}'(t_i)$). 由于$p$在$\widetilde{U_i}$上为一单射, 且$p \widetilde{F} = $$ p \widetilde{F}'$, 故在$[t_i, t_{i + 1}]$上我们有$\widetilde{F} = \widetilde{F}'$, 从而由归纳法可知在$I$上$\widetilde{F} = $$ \widetilde{F}'$.
$\\$ 最后, 我们注意到, 通过上述步骤在形式为$N \times I$的集合上构造得到的提升$\widetilde{F}'$, 将其限制在每一段$\{ y \} \times I$上均是唯一的, i.e. 当两个形式为$N \times I$的集合存在交集时, 其交集上构造得到的提升$\widetilde{F}'$必是唯一的, 故我们最终可在整个$Y \times I$上得到一个Well-Defined的提升$\widetilde{F}'$. 该提升$\widetilde{F}'$是连续的, 因为它在每一个形式为$N \times I$的集合上均是连续的; 同时, 该提升$\widetilde{F}'$是唯一的, 因为它在每一段$\{ y \} \times $$ I$上均是唯一的.
$\\$ $\\$ $\\$ 引理2(道路提升引理) 对于任一以点$x_0 \in X$为起点的路径$f: I \to $$ X$与任一$\widetilde{x_0} \in p^{-1}(x_0)$, 存在唯一一个以$\widetilde{x_0}$为起点的提升$\widetilde{f}: I \to \widetilde{X}$.
$\\$ 证: 令$Y$为一个单点集, 应用引理1即可得证.
引理3(同伦提升引理) 对于任一以$x_0$为起点的伦移$f_t: I \to X$与任一$\widetilde{x_0} \in $$ p^{-1}(x_0)$, 存在唯一一个以$\widetilde{x_0}$为起点的伦移的提升$\widetilde{f_t}: I \to \widetilde{X}$.
$\\$ 证: 令$Y = I$, 应用引理1即可得证.
令$F(s, t) = f_t(s)$, 可由同伦提升引理中的伦移$f_t$得到一个映射$F: I $$ \times I \to $$ X$. 又由道路提升引理可得一个唯一的提升$\widetilde{F}: I \times \{ 0 \} \to $$ \widetilde{X}$, 从而由引理1可得一个唯一的提升$\widetilde{F}: I \times I \to \widetilde{X}$. 其中, $\widetilde{F} | \{ 0 \} \times $$ I$与$\widetilde{F} | \{ 1 \} \times I$均为常道路的提升, 由道路提升引理的唯一性部分的论述可知$\widetilde{F} | \{ 0 \} \times I$与$\widetilde{F} | \{ 1 \} \times I$亦必为常道路. 此外, 由于$p \widetilde{F} = F$, 故$\widetilde{f_t}(s) = \widetilde{F}(s, t)$为一个伦移, $\widetilde{f_t}$为$f_t$的提升.
定理1 $\pi_1(S^1)$为一个由基点为$(1, 0)$的圈道路$\omega(s) = (cos 2 \pi s, $$ sin 2 \pi s)$的同伦类生成的无限循环群.
$\\$ 证: 注意到$[\omega]^n = [\omega_n]$, 其中, 对于$\forall n \in \mathbb{Z}$, $\omega_n(s) = (cos 2 \pi ns, $$ sin 2 \pi ns)$. 该定理等价于: 任一基点为$(1, 0)$的$S^1$上的圈道路均同伦于$\omega_n$, 其中, $n \in \mathbb{Z}$是唯一的. 为了证明这一点, 我们可以通过$p(s) = ( $$ cos 2 \pi s, sin 2 \pi s)$给出的映射$p: \mathbb{R} \to S^1$来比较$S^1$中的路径与$\mathbb{R}$中的路径. 我们可以通过螺旋参数化$s \mapsto ( $$ cos 2 \pi s, sin 2 \pi s, s)$将$\mathbb{R}$嵌入至$\mathbb{R}^3$中, 则$p$为$\mathbb{R}^3$到$\mathbb{R}^2$的投影$(x, y, z) \mapsto (x, $$ y)$在螺旋上的限制. 注意到, 圈道路$\omega_n$为复合映射$p \widetilde{\omega}_n$, 其中, $\widetilde{\omega}_n: I \to \mathbb{R}$为以起点为0, 以终点为$n$的道路, 它绕着螺旋中心轴旋转$|n|$次, 当$n > 0$时表示向上旋转, 当$n < 0$时则表示向下旋转. 由$\omega_n = p \widetilde{\omega}_n$可知$\widetilde{\omega}_n$为$\omega_n$的提升.
$\\$ 我们将通过研究如何将$S^1$中的道路提升至$\mathbb{R}$中来证明本定理.
$\\$ 令$f: I \to S^1$为以$x_0 = (1, 0)$为基点的圈道路, 表示$\pi_1(S^1, x_0)$中的一个元素. 由道路提升引理可得一个起点为0的提升$\widetilde{f}$. 由于$p \widetilde{f}(1) $$ = f(1) = x_0$, 且$p^{-1}(x_0) = \mathbb{Z} \subset R$, 故道路$\widetilde{f}$的终点为某个整数$n$. $\widetilde{\omega}_n$为$\mathbb{R}$中另外一条从0到$n$的道路, 且由线性同伦$(1 - t) \widetilde{f} + t \widetilde{\omega}_n$可知$\widetilde{f} \simeq \widetilde{\omega}_n$. 将其与$p$进行复合运算后可得一个同伦$f \simeq \omega_n$, 故$[f] = $$ [\omega_n]$.
$\\$ 为了证明$n$是由$[f]$唯一确定的, 不妨假设$f \simeq \omega_n$且$f \simeq \omega_m$, 故$\omega_m \simeq $$ \omega_n$. 令$f_t$为从$\omega_m = f_0$到$\omega_n = f_1$的伦移. 由同伦提升引理可将伦移$f_t$提升至起点为0的伦移$\widetilde{f_t}$. 又由道路提升引理的唯一性部分的论述可知$\widetilde{f_0} = \widetilde{\omega}_m$且$\widetilde{f_1} = \widetilde{\omega}_n$. 由于$\widetilde{f_t}$为路径的伦移, 起终点$\widetilde{f_t}(1)$与$t$是无关的. 当$t = 0$时其终点为$m$; 而当$t = 1$时其终点为$n$, 故$m = n$.
$\\$ 综上所述, 命题得证.