今天是五一假期的第一天, 由于没能买到从深圳回家的票, 故只能把五一回家的日子延迟到明天了. 这个五一假期因为后面自己还会强行请三天假, 连起来大概总共会有9天的假期, 还是需要好好利用的~ 最近看完了Jordan曲线定理的证明, 证明过程中有些并不是十分显然的论述还是需要另外做一下注记的~
参考材料
1. Compactness in subsets of R2 example
2. If the Induced Homomorphsim is Trivial then the map is Nullhomotopic
3. 紧致空间与单点紧化
4. Jordan曲线定理读书笔记
5. Locally path-connected implies that the components are open
1. 书上P218第二段处$i_\pi$与$j_\pi$都是零同态.
$\\$ 证: 首先需要证明$X = S^2 \backslash \gamma(A)$是紧致的, 那么我们就需要证明这样一个命题: 紧性是一种不依赖于超集的拓扑性质. 若$X$是一个拓扑空间, $Y \subseteq X$, 则$Y$是$X$中的紧集当且仅当$Y$在它的子空间拓扑上是紧的.
$\\$ 为了证明上述命题, 假设$Y$是$X$的一个紧集, $\{ U_i \}_{i \in I}$是$Y$在它的子空间拓扑上的一个开覆盖. 根据子空间拓扑的定义, 对于任意$i \in I$, 存在开集$V_i \subseteq X$使得$U_i $$ = V_i \cap Y$, 则$\{ V_i \}_{i \in I}$是$Y$在$X$中的开覆盖. 根据$Y$的紧性, 我们可以得到一个有限子覆盖$\{ V_{ik} \}_{k = 1}^n$, 则$\{ U_{ik} $$ \}_{k = 1}^n$是$\{ U_i \}_{i \in I}$是子空间拓扑上上的有限子覆盖. 反过来, 假设$Y \subseteq $$ X$是一个紧致的拓扑空间, $Y$上的拓扑是在$X$中的子空间拓扑. 取$Y$在$X$中的一个开覆盖$\{ U_i \}_{i \in I}$, 则对于任意$i \in I$, 定义$Y$上的开集$V_i $$ := U_i $$ \cap Y$, $\{ V_i \}_{i \in I}$是$Y$在它的子空间拓扑上的一个开覆盖. 根据$Y$的紧性, 我们可以得到一个有限子覆盖$\{ V_{ik} \}_{k = 1}^n$, 则$\{ U_{ik} \}_{k = 1}^n$为$Y$在$X$中的有限子覆盖.
$\\$ 回到原命题的证明上来: $X = S^2 \backslash \gamma(A)$是紧致的. 取$X$的任意一个开覆盖$\{ U_i $$ \}_{i \in I_U}$, $\gamma(A)$的任意一个开覆盖$\{ V_i \}_{i \in I_V}$, 则$\{ U_i \}_{i \in I_U} \cup $$ \{ V_i \}_{i \in I_V}$构成$S^2$的一个开覆盖. 由于$S^2$是$E^3$中的紧集当且仅当$S^2$在它的子空间拓扑上是紧的, 我们可以得到$S^2$的一个有限子覆盖$\{ $$ U_{ik} \}_{k = 1}^{n_U} \cup \{ V_{ik} \}_{k = 1}^{n_V}$, 从而$\{ U_{ik} \}_{k = 1}^{n_U}$是$X$的一个有限子覆盖($X \cap $$ \gamma(A) = \emptyset$), $X$是$S^2$中的一个紧集. 由刚刚证明的命题可知, $X$也在它的子空间拓扑上是紧的.
$\\$ 在证明了$X$是紧致的事实以后, 便可以利用零伦引理知$i$零伦. 任取基点$x_0 \in X$, 则$i: X \mapsto X \cup Y$诱导基本群的同态$$i_\pi: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(X \cup Y, i(x_0)), \left \langle a \right \rangle \mapsto \left \langle i \circ a \right \rangle.$$由于$i$零伦, 对于任意$\left \langle a \right \rangle \in \pi_1(X, x_0)$, 我们有$$i_\pi(\left \langle a \right \rangle) = \left \langle i \circ a \right \rangle = \left \langle e_{i(x_0)} \circ a \right \rangle = \left \langle e_{i(x_0)} \right \rangle = 0.$$命题得证.
2. 书上P219第二段处道路$H \circ a: [0, 1] \to S^1, t \mapsto \frac{u(t) – v(0)}{\| u(t) – v(0) \|}$始终在上半圆周中走.
$\\$ 证: 此处的”始终在上半圆周中走”的描述指的是$H \circ a$的像点除了需要满足圆心位于原点的单位圆方程以外, 还需要满足$y$分量不小于0的约束. 因此我们只需要考虑$H \circ a$的像点的$y$分量即可, 由于$v(0) $$ = (0, -1)$, 因此$u(t) – v(0)$的$y$分量为$u(t)$的$y$分量加上1. 而$u(t)$的$y$分量是在$[-1, 1]$内的, 从而$\frac{u(t) – v(0)}{\| u(t) – v(0) \|}$的$y$分量总是不小于0. 命题得证.
3. 设$\gamma: S^1 \to E^2$是一个嵌入, 则$E^2 \backslash \gamma(S^1)$存在唯一一个有界分支$U$, 并且$U$是以$\gamma(S^1)$为边界, 即$\overline{U} \backslash U^{\circ} = \gamma(S^1)$, 这个结论与Jordan曲线定理是完全等价的.
$\\$ 证: 平面添加一个无穷远点(一点紧化) 后就是球面. 先介绍一下一点紧化(本文只介绍亚历山德罗夫单点紧化): “紧”是一个很重要的概念, 很多时候我们需要让一个非紧的拓扑空间变成紧的, 这只需要在原来的空间上添加一个点就可以做到. 我们之前便学过商集的概念, 商集就像是胶水一样, 可以把一个拓扑空间粘合起来; 单点紧化也是如此, 而它所添加的那个抽象的无穷远点就是胶水的粘合点. 在讨论单点紧化时, 一般有大前提——设拓扑空间$X$是Hausdorff的且局部紧的.
$\\$ 定义 设$X$是一个拓扑空间, $\widetilde{X} = X \cup \{ \infty \}$, 其中$\infty$是一个抽象的点. 同时, 定义$\widetilde{X}$上的拓扑$\widetilde{\tau}$:
$\\$ (1) 若$\infty \notin U$, 则$U$在$\widetilde{X}$中开当且仅当$U$在$X$中开.
$\\$ (2) 若$\infty \in U$, 则$U$在$\widetilde{X}$中开当且仅当$U$的补集在$X$中是紧的.
$\\$ 单点紧化的想法是引入了一个抽象的无穷远点, 然后将非紧集的边缘部分和这个无穷远点连在一起, 最终使得变形后的空间成为紧的. 接下来介绍一个很重要的的与一点紧化相关的引理.
$\\$ 引理 设$C$是一个$S^2$的一个紧致子空间, $b$是$S^2 \backslash C$的一个点, $h: S^2 $$ \backslash \{ b \} \to E^2$是一个同胚, 且$U$是$S^2 \backslash C$的一个分支. 如果$b \notin U$, 那么$h(U)$是$E^2 \backslash h(C)$的一个有界分支; 如果$b \in U$, 那么$h(U \backslash \{ b \})$是$E^2 \backslash h(C)$的一个无界分支. 特别地, 如果$S^2 \backslash C$有$n$个分支, 那么$E^2 \backslash $$ h(C)$就有$n$个连通分支.
$\\$ 引理的证明过程详见参考材料4. 有了上述引理, 我们便可以把Jordan曲线定理的与$S^2$相关的证明过程”无缝”切换至与$E^2$相关的证明过程.
4. 书上P219倒数第二段处$E^2 \backslash \gamma(S^1)$的每个分支都是开集, 所以$U^\circ $$ = U$, 并且$\overline{U}$不与其它分支相交, 只能包含于$\gamma(S^1) \cup U$.
$\\$ 证: 首先证明$E^2 \backslash \gamma(S^1)$是局部道路连通的. 由于$S^2$是局部道路连通的, 故我们只需证明局部道路连通空间的开子空间是局部道路连通的. (然而此处只证明了局部连通空间的开子空间是局部连通的=.= 后面看看能不能想出来) 假设拓扑空间$X$是局部连通的, $O$是$X$的一个开子集, 任取$p \in O$, 对于任意包含$p$的开集$U $$ \subset O$与连通开集$V \subset $$ X$, 则$p \in W = U \cap V$, 从而$W$是$p$的一个开邻域, $W \subset $$ U \subset O$. 若$W$不是连通的, 则$W$可以写为两个既开又闭的集合$A, B$的无交并, 从而$A \cup B = W = U \cap V \subset V$. 由于$V$是连通的, $V$中既开又闭的集合只有$\emptyset$与$V$本身. 我们讨论如下两种情形:
$\\$ $\cdot$ $A = B = \emptyset$, 这与$p \in W = A \cup B$矛盾.
$\\$ $\cdot$ $A = V$或者$B = V$, 则$V = A \cup B = W = U \cap V \subset U \subset O$. 但$V$与$W$的连通性不同, 矛盾.
$\\$ 综上所述, 局部连通空间的开子空间是局部连通的. 而$S^2 \backslash \gamma(S^1)$是局部道路连通空间$S^2$的一个开子空间, 故也是局部道路连通的, 从而$E^2 \backslash \gamma(S^1)$是局部道路连通的.
$\\$ 再来证明局部道路连通空间的每个道路连通分支都是开集. 假设$U$为局部道路连通空间$X$的一个道路连通分支, 且$U$不是开集. 则存在边界点$b \in U$, 根据局部道路连通的定义, 我们可以找到$b$的一个道路连通邻域$V$.
$\\$ 由于道路连通子集总是连通的, 且$b \in U \cap V$, 故$U \cup V$是一个严格大于$U$的连通子集, 且$V \cap (X – U) \ne \emptyset$. 这与$U$是一个极大的道路连通子集的事实矛盾, 故$U$为一个开集.
$\\$ 最后来证明$\overline{U}$不与其它分支相交, 只能包含于$\gamma(S^1) \cup U$. 值得一提的是, 不应该从闭包的道路连通性去入手, 因为道路连通集合的闭包不一定是道路连通的, 反例详见Topology: Path-Connected Spaces. 假设$\overline{U}$与其它分支$U’$相交, 则$\partial U$与其它分支$U’$相交, 不妨设$b$属于$\partial U$与其它分支$U’$的交集. 由于$b \in \partial U$, 由边界点的定义知, $b$的每个邻域都含$U$中的点; 此外, $b \in S^2$, $S^2$是局部道路连通的, 由局部道路连通的定义知$b$存在道路连通的邻域, 且含$U$中的点; 又$b \in U’$, 则任取$x \in U$, $y \in U’$, $S^2$中存在从$x$到$y$的道路, 这与道路连通分支的定义矛盾, 故$\overline{U}$不与其它分支相交, 只能包含于$\gamma(S^1) \cup U$.
$\\$ 综上所述, 命题得证.
5. 书上P220第二段处利用了前面章节的习题结论, 需要证明$U^c$是$E^2$的道路连通真子集.
$\\$ 证: 任取$x, y \in U^c$, 在$E^2$中作从$x$到$y$的线段$l$, 若$l \cap U = \emptyset$, 则在$U^c$中存在从$x$到$y$的道路; 否则, 我们可以作$l$的中垂线, 由于$U$是有界的, 故中垂线上总存在一点$p$, 使得$x$与$p$的连线, $y$与$p$的连线均在$U$之外, 从而在$U^c$中存在从$x$到$y$的道路, 命题得证.