最近萌生了参加今年3月底左右的阿里巴巴全球数学竞赛的想法, 于是乎找了一些历年的真题与参考答案来看, 发现难度真的挺高QAQ 自己的竞赛巅峰水平大概也停留在后保研时期一去不复返了…… 接下来就尽力复习叭, 重在参与(强行自我安慰2333), 同时又要开启为期一个月左右的996生活了…… 趁着周末, 想着就赶紧把圆周的基本群这一个知识点彻底完结叭!
参考材料
1. Hatcher A .Algebraic Topology[J].second order equations with nonnegative characteristic form, 2002.DOI:10.1002/9781118535523.ch9.
2. 从球面出发的连续映射：零伦，扩张，平凡同态
3. 基本群对代数基本定理的应用
代数基本定理 任一非常数的复系数多项式均有一个在$\mathbb{C}$上的根.
$\\$ 证: 不妨假设多项式的形式为$p(z) = z^n + a_1 z^{n – 1} + \cdots + a_n$.若$p(z)$在$\mathbb{C}$上无根, 则对于任一实数$r \ge 0$, $$f_r(s) = \frac{p(re^{2\pi is}) / p(r)}{|p(re^{2\pi is}) / p(r)|}$$定义了一个单位圆$S^1 \subset \mathbb{C}$上的基点为1的圈道路. 随着$r$的变化, $f_r$为一个基点为1的圈道路的同伦. 由于$f_0$为平凡的圈道路, 我们推断对于$\forall $$ r$, 同伦类$[f_r] \in $$ \pi_1(S^1)$均为0. 不妨将$r$固定为一个较大的值, s.t. $r > $$ |a_1| + \cdots + |a_n|$且$r > $$ 1$. 从而对于$|z| = r$, 我们有$$|z|^n > (|a_1| + \cdots + |a_n|)|z^{n – 1} \\ > |a_1 z^{n – 1}| + \cdots + |a_n| \ge |a_1 z^{n – 1} + \cdots + a_n|.$$由不等式$|z^n| > |a_1 z^{n – 1} + \cdots + a_n|$可知, 当$0 \le t \le 1$时, 多项式$p_t(z) = $$ z^n + t(a_1 z^{n – 1} + \cdots + a_n)$在圆周$|z| = r$上无根. 将$p_t$代入上述$f_r$的定义式中的$p$, 并令$t$由1变化至0, 我们可得一个由圈道路$f_r$到圈道路$\omega_n(s) = e^{2 \pi ins}$的同伦. 又由圆周的基本群同构于整数加法群的证明过程可知, $\omega_n$表示$n$乘以无限循环群$\pi_1(S^1)$中的一个生成元. 由于$[\omega_n] = [f_r] = 0$, 故我们可得$n = 0$. 综上所述, $\mathbb{C}$上无根的多项式仅有常数多项式.
布劳威尔不动点定理 任一连续映射$h: D^2 \to D^2$均有一个不动点, i.e. $\exists x \in $$ D^2$, s.t. $h(x) = x$.
$\\$ 证: (反证法) 不妨假设$h(x) \ne x$, $\forall x \in D^2$. 我们可以构造一个映射$r $$ : D^2 \to $$ S^1$. 对于$\forall x \in D^2$, 连接$x$与$h(x)$, 并令$r(x)$为以$h(x)$为起点的射线与$S^1$的交点. 由于$h(x) \ne x$, $\forall x \in D^2$, 故$r$是Well-Defined的. 从几何直观上来看, $r$的连续性是显然的, 因为关于$x$的小扰动会产生关于$h(x)$的小扰动, 从而亦会产生关于经过这两点的射线的小扰动. 除却连续性以外, $r$的另外一个重要性质便是: 若$x \in S^1$, $r( $$ x) = x$. 故$r$为一个由$D^2$至$S^1$的收缩映射. 接下来, 我们将证明不存在这样的收缩映射.
$\\$ 令$f_0$为$S^1$上的任意圈道路, 且在$D^2$上存在一个由$f_0$至常道路的同伦, 如线性同伦$f_t(s) = (1 – t)f_0(s) + tx_0$, 其中$x_0$为$f_0$的基点. 由于收缩映射$r$在$S^1$上为一个恒等映射, 则复合映射$rf_t$为一个$S^1$上的从$rf_0 $$ = f_0$到以$x_0$为基点的常道路的同伦. 然而$\pi_1(S^1)$为一个非平凡群, 矛盾, 故命题得证.