本周宅家, 想着尽量把群作用这一节内容给完结了~
Contents
参考材料
1. prop-disc
2. Properly Discontinuous Action
1. 自由群作用
关于自由群作用的定义, 上文已经介绍过了, 此处不再赘述. 自由是一个比较抽象的概念, 引进自由这个概念其实是为了刻画轨道的匀齐性: 如果不自由则含不动点的轨道比其它轨道所含的点数要少些, 这样不同的轨道就必须要区别对待了. 从直观上来理解, 若讨论的群作用是不自由的, 在一条含有不动点$x_0$的轨道中, 由于满足$g x_0 = x_0$的$g \in G$不仅仅只有群$G$中的单位元$e$, 则有多个群元素$g$将点$x_0$依旧变换到点$x_0$, 从而点$x_0$所在的轨道含有的点的数量比其它轨道所含的点数要少些.
2. Proper Maps
关于Proper Maps的定义, 其实是有很多版本的, 目前最常用的定义是: 若对于任意紧集$K \subset X$与连续映射$f: X \to Y$, $f^{-1}(K)$亦为一个紧集, 则连续映射$f$是一个Proper Map. 更进一步地, 若连续映射$f: X \to Y$是一个闭映射, 且$f^{-1} $$ (y), y \in Y$亦为一个紧集, 则连续映射$f$是Bourbaki-Proper的. 可以证明,
$\\$ a) 若$X$是一个Hausdorff空间, $Y$是局部紧的拓扑空间, 则连续映射$f: X \to Y$是Bourbaki-Proper的当且仅当连续映射$f$是一个Proper Map.
$\\$ b) 若$X$与$Y$均为第一可数的Hausdorff空间, 则连续映射$f: X \to $$ Y$是Bourbaki-Proper的当且仅当连续映射$f$是一个Proper Map.
3. 纯不连续
关于纯不连续的定义, 与Proper Maps的”处境” 类似, 也是拥有很多版本, 参考材料2中给出了5个版本的定义, 加上书上提到的定义, 一共是6个版本的定义. 可以证明, 这些不同版本的定义本质上都是等价的. 此处仅介绍一下使用Proper Maps语言定义纯不连续的版本与书上的定义.
定义1 给定离散群$G$, 拓扑空间$X$, 与群作用$\alpha: G \times X \to X$, 可得自然投射$$\hat{\alpha} := \alpha \times id_X : G \times X \to X \times X,$$其中$id_X : (g, x) \mapsto x$. 若自然投射$\hat{\alpha}$是一个Proper Map, 则称群作用$\alpha$是纯不连续的.
定义2 如果任取$x, y \in X$, 存在$x$的邻域$U_x$和$y$的邻域$U_y$, 使得$$\{ g \in G | g(U_x) \cap U_y \ne \emptyset \}$$是有限集(这里$g(U) = \{ g(x) | x \in U \}$), 则称$q$为纯不连续群作用.
纯不连续亦是一个比较抽象的概念, 它刻画了每个轨道上的点的分散程度: 这些轨道上的点不仅自己很”分散”, 而且也不会”聚集” 到别的轨道上的点附近去. 从直观上来理解, 考虑纯不连续定义的否命题, 对点$x \in X$的任意邻域$U_x$, 与点$y $$ \in X$的任意邻域$U_y$, 使得$g(U_x) \cap $$ U_y = \emptyset$或者$g(U_x) \cap U_y\ne \emptyset$成立的群元素$g \in G$都有无限多个. 而前一种情况显然不可能发生, 最简单的一个反例便是取点$x$的邻域$U_x = X$即可, 此时不可能取任意群元素$g \in G$都使得$g(X) \cap U_y $$ = $$ \emptyset$.
$\\$ 当讨论同一轨道时, 若这一条轨道上的点分布稠密, 取该轨道上的任意两点$x, y$与点$y$的任意邻域$U_y$, 则点$x$的任意邻域$U_x$所含的大部分点也是点$x$所属轨道上的点, 且有无限多个群元素$g \in G$, 使得$g(U_x $$ ) \cap U_y \ne \emptyset$成立.
$\\$ 当讨论不同轨道$\mathcal{O}_x, \mathcal{O}_y$时, 分别在这两条轨道上取一点$x, y$, 由于对点$x$的任意邻域$U_x$, 与点$y$的任意邻域$U_y$, 使得$g(U_x) \cap U_y \ne \emptyset$成立的群元素$g \in G$有无限多个, 从而说明轨道$\mathcal{O}_x$上的点会”聚集” 到轨道$\mathcal{O}_y$上的点附近.
4. 相关证明注记
4.1 注记1
我们可以利用自由群作用与纯不连续这两个概念得到一个非常有用的命题.
命题1 设$X$是一个Hausdorff空间, $q: G \searrow X$是一个纯不连续的群作用, 则轨道空间$X / G$也是Hausdorff空间. 如果$q$还是自由的, 则粘合映射$$p: X \to X / G, x \mapsto \mathcal{O}_x$$是局部同胚.
在书上P227的证明中, 构造了轨道空间中$\mathcal{O}_x$与$\mathcal{O}_y$的两个不相交的邻域, 此处的构造十分巧妙, 若直接取$U_x, U_y$, 是无法说明轨道空间$X / G$的Hausdorff性质的. 因此, 证明中利用拓扑空间$X$的Hausdorff性质的, 将$U_x, U_y$进一步”缩小”, 得到$W_x, W_y$, 使得$g( $$ W_x) \cap W_y = \emptyset$, $\forall g \in G$. 其中, $x \in W_x$, $y \in W_y$, 故$W_x, W_y$总不为空, 从而这样的构造是有意义的.
4.2 注记2
在书上P229的例6论述中, 分别构造了两个从紧致空间$D^2$(单位圆盘) 到Hausdorff空间$A, B$的连续映射, 因此都是同胚. 而且它们都把单位圆盘的边界圆周分别变到Hausdorff空间$A$的边界与Hausdorff空间$B$的边界, 而它们的边界恰为$$A \cap B = \{ \mathcal{O}_{(z_1, z_2)} \ | \ |z_1| = |z_2|\}.$$