书上P241对于非闭曲线上的圈数定义一带而过, 本文予以补充.
参考材料
1. Winding Number on non-closed curve
2. The Winding Number
3. 单位速度参数化
1. 闭曲线上的圈数
定义1 $C^*$上的幅角函数Arg为一个多值函数, 其定义为$$Arg \ z = \{ \theta \in R | e^{i \theta} = \frac{z}{|z|} \}.$$定义2 令$a \in C$, $\gamma$为$C \backslash \{ a \}$上的一条道路, $\theta_0 \in R$为$Arg(\gamma(0) – $$ a)$中的一个值:$$\theta_0 \in Arg(\gamma(0) – a).$$则存在一个唯一的连续函数$\theta: [0, 1] \mapsto R$使得$\theta(0) = \theta_0$, 我们称$\theta$为$z \mapsto $$ Arg(z – a)$关于$\gamma$的Continuous Choice:$$\forall t \in [0, 1], \theta(t) \in Arg(\gamma(t) – a).$$
定义3 令$a \in C$, $\gamma$为$C \backslash \{ a \}$上的一条道路, 则$z \mapsto Arg(z – a)$关于$\gamma$的变分的定义为$$[z \mapsto Arg(z – a)]_\gamma = \theta(1) – \theta(0),$$其中, $\theta$为$z \mapsto $$ Arg(z – a)$关于$\gamma$的Continuous Choice.
定义4 令$a \in C$, $\gamma$为$C \backslash \{ a \}$上的一条道路, 则$\gamma$绕$a$的圈数为一整数, 其定义为$$ind(\gamma, a) = \frac{1}{2\pi}[z \mapsto Arg(z – a)]_\gamma.$$
2. 非闭曲线上的圈数
参考材料1中提到了一种非闭曲线上的不依赖于起点选取的圈数定义, 从直观上来看, 它是一个人沿着曲线行走的旋转数, 且在人从曲线的一端行走到另外一端的过程中, 人的朝向与其运动方向总是保持一致的. 数学上的定义如下所示.
定义5 对于笛卡尔坐标系$(x, y)$, 给定一条曲线$a$的单位速度参数化$r(t) = (x( $$ t), y(t))$, 其中, $r(0)$与$r(1)$分别表示曲线$a$的两个端点. 考虑速度向量$\dot{r} = (\dot{x}( $$ t), \dot{y}(t))$, 我们可以定义一个连续函数$\alpha(t)$, 它描述了在时刻$t$处的运动方向, 使得$\dot{r} = (cos \alpha (t), sin \alpha (t))$. 由于运动方向随时间$dt$变化的角度$d\alpha$与坐标系的选择无关, 故其导数$\frac{d\alpha}{dt}$是唯一的, 从而不同形式的$\alpha(t)$之间仅相差一个常数. 由此, 我们给出曲线$a$上的圈数定义:$$\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{T} \frac{d\alpha}{dt} = \frac{\alpha(1) – \alpha(0)}{2\pi}.$$该圈数定义在任何曲线(无论是开曲线还是闭曲线) 上均是Well-Defined的, 并且不依赖于坐标系或者原点的选取. 在这种圈数的定义下, 闭曲线的圈数总为一个整数, 而开曲线的圈数则不一定为一个整数. 例如, 极坐标系$(r, \theta)$下由$r = \theta$描述的开曲线(螺线) 的圈数为:
$\cdot$ 1.5, $2\pi \le \theta \le 5\pi$.
$\cdot$ 2, $2\pi \le \theta \le 6\pi$.
3. 从复迭映射的角度理解圈数
考虑一个把直线无穷地”缠绕” 在曲线$a$上的复迭映射$$p: E^1 \to a, t \mapsto (x(t), y(t)).$$在该复迭映射$p$下, $a^\uparrow = \frac{\alpha}{2\pi}$, 则上述圈数的定义即为$a^\uparrow(1) – a^\uparrow(0)$. 由于不同形式的$\alpha(t)$之间仅相差一个常数, 故当选取不同的提升起点$a^\uparrow(0)$(可视为相差一个平移) 时, 相应的提升终点$a^\uparrow(1)$也相差一个相同平移量的平移.