最近两天下班时间都在晚上十二点以后了, 实在有点吃不消, 大概这就是游戏行业的常态叭…… 上午请了个假休息一下, 重新学习了一下射影平面及齐次坐标, 有了更深的理解, 特此记录一下~
$\\$ 直观上来理解, 射影平面其实是欧几里得空间上直线与平面的高度抽象, 因为射影平面不能无自交地嵌入三维欧几里得空间, 因此在三维欧几里得空间中, 我们并不能完美地表现射影平面, 也就是很难去想象它究竟长啥样. 这里的“完美” 是指既不能把直线“掰弯”, 也不能引入“无穷远点” 等不直观的概念, 但三维空间下的射影平面(空间) 可以嵌入到四维欧几里得空间, 这与克莱因瓶类似.
本周主要是在学习单纯复形一节, 习题方面还是存在比较多问题的, 主要是书上提供的证明思路太过于简洁, 还没想到如何去证明; 而且目前还对于单纯复形等概念还有点困惑, 所以本文主要是整理一下相关的概念.
这周要开始苦逼的996加班生活了, 昨天版本日加班到12点, 所以今天上午请了个假, 毕竟还是得从自己的身体出发为自己考虑, 为公司拼命怎么想都是不值得的. 从这周开始, 自己也想着坚持每周都起码更新一篇文章, 用以记录当周学习拓扑的过程中学懂的一个小知识点. 话不多说, 进入正题~
考虑平面上的一条直线$\mathcal{l} = \{ (x, y) \in E^2 \ | \ y = 0\}$, 作为流形来讲$\mathcal{l}$的每个点都是内点, 但是作为$E^2$的子集(此处没有取子空间拓扑的操作) 来讲它的每个点都不是内点.
$\\$ 这是因为流形的内点与拓扑空间中的子集的内点完全是两码事, 虽然它们的名字是一样的. 拓扑空间中的子集$A$的内点$x$需要满足的条件是$A$是$x$的邻域, 显然$\mathcal{l}$并非里面所含的点的邻域, 因为对于$E^2$这个度量拓扑空间而言, 其基准开邻域都是球形邻域, 而$\mathcal{l}$不包含$E^2$的任意一个球形邻域; 而当考虑流形内点的定义时, $x \in $$ \mathcal{l}$有开邻域$U$(这里采用的拓扑结构应为子空间拓扑结构) 以及有从$U$到$E^2$的开子集的同胚$\varphi$使得$\varphi(x) = (0, \cdots, 0)$, 故作为流形来讲$\mathcal{l}$的每个点都是内点.
Mesh Generation and Editing at Runtime in UE4.26
其实题目不是很恰当, 在UE4里已经有这个插件了, 只不过貌似还是beta版本, 有时间希望能看看源码~ 虽然实用性貌似不高, 但简化面的需求应该还是有的, 万一自己能有重大的改进从而超越UE4的Simplygon插件呢哈哈哈!
Efficient Bijective Parameterizations
刘利刚老师做的一篇关于参数化的文章, 之前自己本来对参数化这个领域是比较陌生的, 但通过这篇文章还是了解了参数化领域的一些前沿进展, 但方法还是比较传统的, 构造目标函数然后进行优化, 感觉几何领域都喜欢玩这一套? 据说UE5的虚拟几何体便是和参数化有关, 到时候发布了以后再看一下源码~
之前本来挺感兴趣的一篇文章, 但读完以后发现并不是那么感冒, 还是比较传统的优化目标函数的思路, 和自己所期望的拓扑应用差距较大……
证明详见书上P115-P116, 有疑问的点在于P116第二段: 可以取一个$k_u \in \mathbb{N}$, 使得$\{U \in 2^{-k_i} \mathcal{W} \ | \ U \cap \bar{A_i} \ne \emptyset\}$构成这个覆盖的开加细.
$\\$ 我个人的理解是: 讨论的开覆盖$\mathcal{U}$是确定了的, 由于是在度量空间中, 那么开集族$\mathcal{U}$总有一个”半径”最小的开集(不妨设为$M$), 因此总可以取一个$k_u \in \mathbb{N}$使得$\{U $$ \in 2^{-k_i}\mathcal{W}|U \cap \bar{A_i} \ne \emptyset\}$中的元素的半径是比$M$的半径还小的, 那么由开加细的定义可知这样的取法是可行的.
先附上视频链接: https://www.bilibili.com/video/BV1it411g75S?p=19
只看了第一个视频, 貌似是一个美术做的教程, 但开头着实废话有点多…… 看了一遍没有看懂, 幸好有远哥会后总结了一下, 大概了解了第一集在讲啥~